Electro-Ohm: Análisis de circuitos por voltaje de nodos

Es un circuito donde un número cualquiera de elementos simples se conectan al mismo par de nodos.

Ejemplo:

La única tensión desconocida en este circuito es V₁. Hay tres conexiones en este nodo y por esta razón, 3 corrientes a considerar. Ahora se analiza todas las corrientes que pasan por el nodo, así:

\begin{cases} \text{Corriente en R1:} & {V_1- V_s \over R_1} \\ \text{Corriente en R2:} & {V_1\over R_2} \\ \text{Corriente en Is:} & I_s =-I_s \\ \end{cases} \,

Con ley de corrientes de Kirchhoff (LCK), tenemos:

\frac{V_1 - V_S}{R_1} + \frac{V_1}{R_2} - I_S = 0

Se resuelve con respecto a V₁:

V_1 = \left( \frac{V_S}{R1} + I_S \right) : \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)

Finalmente, la tensión desconocida se resuelve sustituyendo valores numéricos para cada variable. Después de haber obtenido estas ecuaciones y conocer cada tensión, es fácil calcular cualquier corriente desconocida.

V_1 = \left( \frac{5\text{ V}}{100\,\Omega} + 20\text{ mA} \right) : \left( \frac{1}{100\,\Omega} + \frac{1}{200\,\Omega} \right) \approx 4.667\text{ V}

Supernodos

Esta combinación de los dos nodos es llamada el método de supernodo, y requiere una ecuación adicional, que involucre las tensiones que afectan a la fuente, V₁ = V₂ + V_A.

El sistema de ecuaciones para este circuito es:

\begin{cases} \frac{V_1 - V_\text{B}}{R_1} + \frac{V_2 - V_\text{B}}{R_2} + \frac{V_2}{R_3} = 0\\V_1 = V_2 + V_\text{A}\\ \end{cases}

Al sustituir V₁ en la primera ecuación y resolviendo con respecto a V₂, tenemos:

V_2 = \frac{(R_1 + R_2) R_3 V_\text{B} - R_2 R_3 V_\text{A}}{(R_1 + R_2) R_3 + R_1 R_2}

Ejemplo:

Tensión en la resistencia de 4Ω:

\displaystyle \frac{V_a-V_b}{4}=10

factorizando

{1 \over 4}V_a-{1 \over 4}V_b=10

Observamos el supernodo en los nodos $V_b$ y $V_c$ , tomamos estos dos nodos como uno solo, por lo tanto sumamos las corrientes de las resistencias que hay conectadas a

$V_b$ y $V_c$ :

\displaystyle \frac{V_b-V_a}{4}+\displaystyle \frac{V_b}{3}+\displaystyle \frac{V_c}{5}=0

factorizando

-{1 \over 4}V_a+{7 \over 12}V_b+{1 \over5}V_c=0

Finalmente, planteamos una ecuación para la fuente de voltaje la cual es la caída de voltaje en los nodos así:

V_b-V_c= 10

Observación:Debemos tener en cuenta la polaridad de la fuente para plantear esta última ecuación, y así obtener el sistema de ecuaciones para determinar los valores de los voltajes.

Sistema de ecuaciones:

\begin{cases} {1 \over 4}V_a-{1 \over 4}V_b=10\\ -{1 \over 4}V_a+{7 \over 12}V_b+{1 \over5}V_c=0\\ V_b - V_c= 10 \end{cases} \,

Resolviendo V_a= 62,5 V, V_b= 22,5 V y V_c= 12,5 V

Electro-Ohm

lunes, 9 de mayo de 2016

Análisis de circuitos por voltaje de nodos

No hay comentarios.:

Publicar un comentario